Page 109 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 109

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1.
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: τέτοια ώστε :
f(x×y)=f(χ)+f(y), για καθε x, y * και f'(χ) 0
Να δείξετε ότι:
f'(χ) y
α) f'(y) = x

β) f'(1) + f'(-1) = 0

α )

Για x=y=1 η δοσμένη σχέση γίνεται:

f(1× 1)=f(1)+f(1) f(1)=0 (1)
● Παραγώγιση της δοσμένης ως προς χ:

(f(x× y))' =(f(x)+f(y))'`f'(x× y)×(x× y)' = f'(x)

`f'(x× y)× y= f'(x)

y 0 f'(x)
ô
`f'(x× y)= y (1)

● Παραγώγιση της δοσμένης ως προς y:

(f(x× y))' =(f(x)+f(y))'`f'(x× y)×(x× y)' = f'(y)

`f'(x× y)× x= f'(y)

x 0 f'(y)
ô
`f'(x× y)= x (2)

Από (1) και (2)

f'(x) f'(y) f'(x) y
y = x ` f'(y) = x

β )

Η (1) για χ=1 και y=-1
f'(1) = -1 ` f'(1)=-f'(-1) ` f'(1)+f'(-1)= 0

f'(-1) 1

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017