Page 135 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 135

4. ΦΥΣΙΚΗ (ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΟ)
Σώμα κινείται πάνω σε ευθεία και η θέση του κάθε χρονική
στιγμή να δίνεται απ'τη συνάρτηση:
χ(t)=-t -2t +12t+1, t 0 με t σε ώρες.
2
4

α) Που βρίσκεται το σώμα τη χρονική στιγμή t=1;
β) Πόσο διάστημα έχει διανύσει τη πρώτη ώρα;
γ ) Να αποδείξετε ότι το κινητό σταματάει ακριβώς μια φορά
μεταξύ της πρώτης και δεύτερης ώρας της κίνησης
δ ) Να αποδείξετε ότι τη χρονική στιγμή που σταματά το κι -
νητό, μεταξύ πρώτης και δεύτερης ώρας, η θέση του
έχει τη μέγιστη τιμή.

α ) ,β)

4
2
χ(0)=-0 -2× 0 +12× 0+1

= 1

χ(1)=-1 -2× 1 +12× 1+1
2
4

= 10

Δχ =| χ(1)-χ(0)|=| 10-1|

1
= 9

Δηλαδή

● τη χρονική στιγμή t=1 το
σώμα βρίσκεται 10 m

μπροστά α π ό την αφετη-

ρία
● κατά τη διάρκεια της πρώτης ώρας το σώμα διάνυσε 9 m

γ )
Έχουμε
2
4
χ'(t)=(-t -2t +12t+1)'

=-4t -4t+12= υ(t)
3

3
● Για τη συνάρτηση υ ( t)= -4t -4t+12 στο διάστημα [1, 2]

● η υ είναι συνεχής σαν πολυωνυμική
υ(1)=-4-4+12= 4> 0
● υ(1)× υ(2)< 0
υ(2)=-32-8+12=-28< 0
Από θ ε ώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον ένα t ώστε:
0
υ ( t )=0
0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017