Page 139 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 139

2. ΑΠΟΣΤΑΣΗ (ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ)
Δύο αυτοκίνητα Α, Β κινούνται κατά μήκος δύο κάθετων
οδών ΟΑ και ΟΒ και πλησιάζουν την διασταύρωση Ο με
ταχύτητες 50 km/h και 100 km/h αντίστοιχα.
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης τους (ΑΒ)

τη χρονική στιγμή t 0 κατά την οποία το αυτοκίνητο Α απέ-
χει από τη διασταύρωση 800m ενώ το αυτοκίνητο B απέχει
600m.

● Ανεξάρτητη μεταβλητή:
ο χρόνος t
● (OA)=x(t) η συνάρτηση
που εκφράζει την από-
σταση του αυτοκινήτου
Α απο το Ο
● (OΒ)=y(t) η συνάρτηση
που εκφράζει την από-
σταση του αυτοκινήτου
Β απο το Ο
● (ΑΒ)=s(t) η συνάρτηση
που εκφράζει την από-
σταση των δύο αυτοκι-
νήτων
● Γνωστά:

χ'( t )=-50 km/h, y'( t )=-100 km/h, χ ( t )=0,8 km και
0
0
0
y( t )=0,6 km
0
Ισχύει
● s (t)=x (t)+y (t) και
2
2
2
2s(t)×s'(t)=2x(t)×x'(t)+2y(t)×y'(t) `
s'(t)×s(t)=x(t)×x'(t)+y(t)×y'(t)
Τη χρονική στιγμή t
0
● s ( t )=x ( t )+y ( t )=0,8 +0,6 =0,64+0,36=1`
2
2
2
2
2
0 0 0
s( t )=1 km
0
● s'( t )×s( t )=x( t )×x'( t )+y( t )×y'( t )`
0
0
0
0
0
0
s'( t )×1=0,8×(-50)+0,6×(-100)`
0
s'( t )=-100
0
Επομένως,
ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής είναι -100 km/h
(η απόσταση των κινητών μειώνεται)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017