Page 284 - diaforikos
P. 284

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός                             284




                      3.  ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ   (ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ)
                      Να αποδείξετε ότι
                                               α+β      α            β
                      αν 0<α<β, τοτε  ln        2   <  α+β   ln    α+β   ln


                   Είναι :

                      α+β       α          β       α  >  0
                   ln      <       ln          ln   ~
                       2      α+β        α+β       β  >  0
                             α+β
                   (α+β ) ln       < α ln    β ln ~
                               2
                            α+β
                   (α+β )ln       -α ln     β ln < 0
                              2

                   Θεωρουμε τη συνάρτηση
                                    χ+β
                   f(x)    (χ+β )ln      -χln      βln ,
                                     2
                   χ  [α, β]

                   ● Για κάθε χ      [α, β]
                      ● η f είναι συνεχής (σύνθεση συνεχών)
                      ● η f είναι παραγωγίσιμη (σύνθεση παραγωγίσιμων) με
                                          χ+β
                        f'(x)=( (χ+β ) ln      -χ ln      β ln )'
                                            2
                                         χ+β               χ+β
                                    =(χ+β )' ln  (χ+β ) ln       '-(χ ln )'

                                           2                 2
                                    = ln χ+β  (χ+β )  2  1  -ln      1
                                    2            χ+β 2
                                  χ+β                   χ+β
                                    = ln  1-ln    1= ln         0
                                    2                    2χ
                           αφού
                                                χ+β            χ+β              χ+β
                        χ< β~2χ< χ+β~                   χ ~ln          lnχ~ln           lnχ   0
                                                  2              2                2
                                    ~ln χ+β  0
                                    2χ
                      Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β) και
                           f
                      χ<β ~f(x)<f(β)
                                         χ+β                               β+β
                              ~  (χ+β) ln     -χ ln     β ln < (β+β) ln          -β ln     β ln
                                          2                                  2




                                                     Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα   2017
   279   280   281   282   283   284   285   286   287   288   289