Page 293 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 293

2. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ
Να λύσετε τη παρακάτω εξίσωση
xlnx=x-1

● Η εξίσωση γίνεται:
xlnx=x-1 ` xlnx-x+1=0
● Θεωρούμε τη συνάρτηση
f(x)= xlnx-x+1, για κάθε
χ (0,+ )
● Για κάθε χ (0, + )
● η f είναι συνεχής

(πράξεις συνεχών)
● η f είναι παραγωγίσιμη
(πράξεις παραγωγίσι-
μων) με
f'(x)=( xlnx-x+1)'

1
= lnx+x -1
x
= lnx+1-1 = (0, + )
lnx, x
● f'(x)=0 ` lnx=0 ` x=1
● f'(x)>0 ` lnx>0 ` x>1
● f'(x)<0 ` lnx<0 ` 0<x<1
O πίνακας προσήμου της f' και η μονοτονία της f, φαίνονται
παρακάτω

● Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, 1], συνεπώς
χ<1 ` f(x)>f(1) ` f(x)>0
● Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, 1], συνεπώς
χ>1 ` f(x)>f(1) ` f(x)>0
Σε κάθε περιπτωση είναι f(x)>0
Άρα, αφού η f διατηρεί π ρ όσημο, η ρίζα χ=1 είναι μοναδική της
εξίσωσης
f(x)=0 ` xlnx-x+1=0 ` xlnx=x-1

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017