Page 298 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 298

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x)=ln(1+χ )-e -x +1, χ
2
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο
2
β) Να λύσετε την ανίσωση ln 1 x e x 1
2 e

● Πεδίο ορισμού: Α f=
αφού 1+χ >0 για κάθε
2
χ
α )
● Για κάθε χ
● η f είναι συνεχής

(πράξεις ...)
● η f είναι παραγωγίσιμη
(πράξεις ...) με
2
f'(x)=(ln(1+x ) e -x +1 )'
(1+x )'
2
= -e -x (- )'x
1+x 2
2x
= +e -x >0 για κάθε χ
1+ x 2
πίνακας προσήμου της f'

Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα στο
β )

ln 1 x 2 e x 1 `ln(1 x ) ln2 e x 1
2
2 e e
` ln(1 x ) e x ln2 e
2
1
` ln(1 x ) e x 1 ln2 e 1 +1
2
f
` f(x)< f(1) ` x< 1

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017