Page 296 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 296

5. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ
Να λύσετε τη παρακάτω εξίσωση
12 +16 =20
χ
χ
χ

● Διαιρούμε τα μέλ η της
χ
εξίσωσης με το 20 0
Έτσι
12 16 20 `
20 20 20
12 16 1 `
20 20

12 16 1 = 0 `
20 20
3 4 1 = 0
5 5

● Θεωρούμε τη συνάρτηση

3 4
f(x) = 1 , x
5 5
● Η f είναι συνεχής στο (άθροισμα συνεχών συναρτήσεων)
● Η f είναι παραγωγίσιμη στο (άθροισμα παραγωγίσιμων
συναρτήσεων) με

3 4 3 3 4 4
f'(x ) 1 ' ln ln
5 5 5 5 5 5

είναι
3 1~ ln 3 ln1~ ln 3 0~ 3 ln 3 0
5 5 5 5 5
~

4 1~ ln 4 ln1~ ln 4 0~ 4 ln 4 0
5 5 5 5 5

3 ln 3 4 ln 4 0~ f'(x ) 0
5 5 5 5
Συνεπώς, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο

● Προφανής λύση της εξίσωσης είναι η χ=2, αφού
12 +16 =144+256=400=20
χ
2
2
που είναι μοναδική, αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο
Άρα, η εξίσωση έχει μία μόνο λύση, την χ=2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017