Page 378 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 378

5. DE L'HOSPITAL (ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ)
Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων α και β, αν ισχύει
x(α-συνx)+β-2συνx
lim
x 0 x 2

● limx =0
2
x 0
lim [x(α-συνx)+β-2συνx]
x 0
=0×(α-συν0)+β-2συν0

συν0 = 1
= β-2
● Αν β-2 0 τότε το όριο
θα ισούται με ± , άτοπο
αφού το όριο είναι π ρ αγ-

ματικός αριθμός .
Έτσι, β-2=0`β=2
● Για β=2 το όριο γίνεται
ισοδύναμα

0
x(α-συνx)+2-2συνx 0
lim =
x 0 x 2
[x(α-συνx)+2-2συνx]' α-συνx+xημx+2ημx
lim = lim
2
x 0 (x )' x 0 2x
● lim2x=0
x 0
● lim [α-συνx+xημx+2ημx]=α-1+x× 0+2× 0=α-1
x 0
● Αν α-1 0 τότε το όριο ίσο με ± , άτοπο αφού είναι πραγ-
ματικος αριθμός . Έτσι, α-1=0`α=1
● Για α=1 και β=2 το όριο γίνεται ισοδύναμα
0
x(1-συνx)+2-2συνx 0 [x(1-συνx)+2-2συνx]'
lim = lim
2
x 0 x 2 x 0 (x )'
1- συνx+xημx+2ημx
= lim
x 0 2x
0
0 [1- συνx+xημx+2ημx]'
= lim
x 0 (2x)'

ημx+ημx+xσυνx+2συνx
= lim
x 0 2
0+0+0 1 2 1
= lim = 1
x 0 2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017