Page 44 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 44

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1.
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στη θέση x = 0 με
f'(0)=α και για κάθε x, y είναι:
f(x+y)=f(χ) f(y)-xy, με f(0) 0
0
να δείξετε ότι: f'(x 0)=αf(x 0)- x 0 για κάθε x 0

Για χ=y=0 η σχέση γίνεται
f(0) 0
f(0)=f (0)-0 2 f(0) [f(0)-1]=0 f(0)=1 (1)
2

● Στη θέση χ 0=0:

= lim
f'(0)= lim f(0+h)-f(0) (1) f(h)-1 =α (2)
h 0 h h 0 h

● Στη θέση χ 0 0:
f(x +h)-f(x )
f '(x ) = lim 0 0
0
h 0 h

f(x + y) = f(x)f(y) - xy lim f(x )f(h)-x h-f(x )
=
0
0
0
h 0 h

= lim f(x )(f(h)-1)-x h
0
0
h 0 h
f(x )(f(h)-1) x h
= lim 0 - lim 0
h 0 h h 0 h
f(h)-1
= f(x )lim h -x lim1

0
0
0
h
0
u
(2)
=f(x )× α -x 0
0

= αf(x )-x 0
0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017