Page 47 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 47

4.
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στη θέση x = 0 με
f(0)=1 και για κάθε x, y είναι: f(x+y)º f(χ)×f(y)
να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη για κάθε
x .

● Στη θέση χ 0=0:
f(x)-f(0) (1) f(x)-1
f'(0) = lim = lim (1)

x 0 x-0 x 0 x

● Στη θέση χ 0 0:

Θέτουμε: h=x-x 0 οπότε όταν χ x 0 τότε h 0
Έτσι

f '(x )= lim f(x)-f(x ) = lim f(x +h)-f(x ) (2)
0
0
0
0 x x 0 x-x h 0 h
0

Διακρίνουμε περιπτώσεις

Για h<0:
f(x )f(h)-f(x ) f(x )(f(h)-1)

(2)~ f '(x ) h lim 0 h 0 ` f '(x ) h lim 0 h
0
0
0
0

(1 )
` f '(x ) f(x )× lim (f(h)-1) ` f '(x ) f(x )× f '(0) (3)
0 0 h 0 h 0 0
Για h>0:
f(x )f(h)-f(x ) f(x )(f(h)-1)
(2)~ f '(x ) lim 0 0 ` f '(x ) lim 0
0 h 0 h 0 h 0 h
(1)

` f '(x ) f(x )× lim (f(h)-1) ` f '(x ) f(x )× f '(0) (4)
0
0
0
0
h
0
h

Από (3), (4):

f'(x 0)=f(x 0) f'(0)

H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο χ 0=0 (υπόθεση) και α-

ποδείξαμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη για το τυχαίο χ 0 0,
οπότε

η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη για κάθε χ μ ε

f '(x) f(x)× f '(0)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017