Page 45 - diaforikos
P. 45
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 45
2.
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στη θέση x = 1 με
f'(1)=α και για κάθε x, y είναι:
f(x×y)=f(χ)×f(y), με f(1) 0
αf(χ )
να δείξετε ότι: f'(x 0)= 0 για κάθε x 0 0
χ 0
Για χ=y=1 η σχέση γίνεται
f(1)=f (1) f(1) [f(1)-1]=0 f(1) 0 f(1)=1 (1)
2
● Στη θέση χ 0=1:
f(1+h)-f(1) (1) f(1+h)-1
f'(1)= lim = lim =α (2)
h 0 h h 0 h
● Στη θέση χ 0 1:
x
Θέτουμε: u= x οπότε χ=χ 0 u και όταν χ x 0 τότε u 1
0
Έτσι
f(χ)-f(x )
f '(x ) 0 = lim x χ 0
χ
x
0 0
= lim f(x × u)-f(x )
0
0
u 1 x × u-x 0
0
f(x y) = f(x)f(y) f(x )f(u)-f(x )
= lim 0 0
x (u-1)
1
u
0
= lim f(x ) [f(u)-1]
0
u 1 x 0 (u-1)
f(x ) f(u)-1
= 0 × lim
x 0 h 0 u-1
h = u -1 u = 1+h f(x ) f(1+h)-1
= 0 × il m
u 1 h 0 x 0 h 0 h
(2) f(x )
= 0 ×
x 0
= αf(x )
0
x 0
Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017
