Page 92 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 92

4.
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x)=(x -2)e .
x
2
α) Να βρείτε τις f'(x) και f''(x)
β) Να υπολογίσετε τους α,β,γ αν ισχύει
αf(x)+βf'(x) +γf''(x)= f(x)

α )
Eίναι

x
2
● f'(x)= (x -2)'e +
2
+(x -2)(e )'
x
= 2xe +(x -2)e
2
x
x
= e (x +2x-2)
2
x

● f''(x)=(e )'(x +2x-2)+
2
x
+e (x +2x-2)'
x
2
=e (x +2x-2)+
x
2
+e (2x+2)
x
x
2
= e (x +4x)

β)
Είναι
αf(x)+βf'(x) +γf''(x)= f(x)`
α(x -2)e +βe (x +2x-2)+γe (x +4x)= (x -2)e `
x
x
x
2
2
2
2
x
α(x -2)+β(x +2x-2)+γ(x +4x)= x -2 `
2
2
2
2
αx -2α+βx +2βx-2β+γx +4γx= x -2 `
2
2
2
2
(α+β+γ)x +(2β+4γ)x-2α-2β= x -2 `
2
2
1 1 1 1
2 4 0 ` 2 4 0 ` 2 4 0
2 2 2 1 1

0 0 γ= 0
` 2 0 0 ` 0 ` β= 0
1 0 1 α= 1

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017