Page 186 - olokliroma

186
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

2
Έστω η παραβολή με εξίσωση χ =4y και οι εφαπτομένες
ε 1 , ε 2 προς αυτήν από το σημείο Α(2, -3). Να βρείτε
● τις εξισώσεις των ευθειών ε 1 , ε 2

● το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη παραβολή
και τις εφαπτομένες ε 1 , ε 2 .

● Έστω Μ(χ 0,y 0 ) σημείο
ε π αφής.
Θεωρούμε τη συνάρτη-
x 2
ση f(x)= , x οπότε
4
x
f'(x)= 2 , x

Εξίσωση εφαπτομένης

y-f(x )= f '(x )(x-x )
0
0
0

Επειδή διέρχεται απ'το

σημείο (2. -3):
-3- 1 x 2 = 1 x (2-x )
4 0 2 0 0

x -4x -12= 0
2
0
0

x = 6 ή x =- 2
0
0

Συνεπώς, οι ζητούμενες εφαπτομένες είναι:

● (ε ):3x-y-9 = 0 με σημείο επαφής το Μ (6,9)
1
1
● (ε ):x+y+1= 0 με σημείο επαφής το Μ (- 2,1)

2 2
● Θέτουμε r(x)=- x-1 και g(x)=3x-9

Θεωρούμε τις συναρτήσεις
h = f(x)-r(x) στο [- 2, 2] και h =f(x)-g(x) στο [2, 6]
1
2
Έτσι

2 6
Ε(Ω) = h (x)dx+ h (x)dx
2
1
-2 2
2 ( x 2 +x+1)dx+ 6 ( x 2 -3x+9)dx
-2 4 2 4
x 3 x 2 x 3 3x 2
=[ + +x] 2 +[ - +9x] 6
12 2 -2 12 2 2
8 8 8 32
= +2+2+ -2+2+18-54+54- +6-18 = τ.μ.
12 12 12 3

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017