Page 254 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 254

● f(0)=ln(1+e )=ln2
0
● lim f(x)= lim ln(1+e )=1+
x
x + x +
● Εύρεση τύπου της f - 1
f(x)=y`ln(1+e )=y
x
`1+e =e y
x
` e =e -1
y
x
`x=ln(e -1)
y

β)
Για να είναι η y=x ασύμπτωτη (πλάγια) στο + της συνάρτη-
σης f, αρκεί να δείξουμε ότι
lim [f(x)-χ]=0
x +
Πράγματι
1+e x
lim [f(x)-χ]= lim x+ln -χ
x + x + e x
1+e x
= lim ln
x + e x
1 1
= lim ln +1 για u = και χ + ~u 0
x + e x e x
= lim ln(u+1)
u 0
=ln1=0

γ )
Αρκεί να αποδείξουμε

1 ln e x 1 1 ` e x e ln e x 1 1
x
e 0
x
e x 1 e x e x e x 1 e x
-x
1 ln(1+e )
` 1
1+e x e x
u =1 + e -x 1 lnu
` 1
u u 1
Θεωρούμε τη συνάρτηση:

h(1+e - x )=ln(1+e - x )`h(u)=lnu, μ ε
1
h'(u)= , u [1, 1+e - x ]
u
Ισχύει το Θ.Μ.Τ. για την h στο διάστημα [1, u], συνεπώς υπάρ-
χει ξ (1, u), τέτοιο, ώστε:
lnu-ln1 1 lnu
h'(ξ)= ~ =
u 1 ξ u 1
Όμως

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017