Page 259 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 259

14. ΕΠΙΛΟΓΗ
Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: με f(0)=1, g(0)=2 για
τις οποίες ισχύουν
● f'(x)-f(x)= ημχ-συνχ

● g(x)-g'(x)=ημχ+συνχ
α) Να βρείτε το τύπο των f και g
β ) Να αποδείξετε ότι οι f, g είναι γνησίως αύξουσες στο
διάστημα (0, + ).
γ ) Να αποδείξετε ότι
π π
2
2
e -e 1 e e
δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
π
2 ημχ-συνχ π ημχ+συνχ
I= 0 e -ημχ dx π e -συνχ dx
x
x
2
ε) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που οριζεται
π 3π
από C f , C g και τις ευθείες χ= 4 , χ= 4

α )
Από τα δοσμένα έχουμε
● f'(x)-f(x)=η μ χ-συνχ`f'(x)+συνχ = f(x)+ημχ`
` f'(x)+(ημχ)' = f(x)+ημχ
`[f(x)+(ημχ)]' = f(x)+ημχ
`f(x)+ημχ=ce
x
x
`f(x) =e -ημχ, x
αφού για χ=0: f(0)+ημ0=ce `1=c
0
● g(x)-g'(x)=ημχ+συνχ`g'(x)+ημχ = g(x)-συνχ `

` g'(x)-(συνχ)' = g(x)- συνχ
`[g(x)-(συνχ)]' = g(x)- συνχ
`g(x)-συνχ =ce
x
`g(x) =e +συνχ, x
x
αφού για χ=0: g(0)-συν0=ce `2-1=c`c=1
0

β )
● f'(x)= e -συνχ
x
● g'(x)= e -η μ χ
x
Έτσι, για
1 συνχ
x
e > e ~ e > 1 ~ e > συνχ~ e -συνχ> 0
0
x
x
x
χ> 0~
1 ημχ
e > e ~ e > 1 ~ e > ημχ~ e -ημχ> 0
x
x
0
x
x
Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017