Page 255 - olokliroma
P. 255
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 255
ξ (1, u)~1<ξ<u
1 1
~ < 1
u
1 lnu
~ < < 1
u u-1
δ )
Λόγω συμμετρίας, το εμβαδόν Ε που περικλείεται από τη C f - 1,
την ασύμπτωτη y=x και τις ευθείες y=0, y=1 είναι ίσο με το
εμβαδόν που περικλείεται από τη C f, την ασύμπτωτη y=x και
τις ευθείες χ=0, χ=1.
Έτσι
1+e x 1+e x
f(x)= x+ln ` f(x)-x= ln 0
e x e x
και
1 1 1+e x
● Ε | f(x) x| dχ ln dχ (1)
0 0 e x
1
x
1 1 1 e x 1 e x 1 (1+e )'
● dχ dχ dχ dχ -[ln(1+e )]
1
x
x
x
0 e +1 0 e +1 0 1+e x 0 1+e x 0
e x
e+1 2e
=-ln(1+e )+ln(1+e )=- ln +ln2=ln (2)
0
-1
e e+1
1 1 1 1 e 1
● dχ e dχ -[e ] -e 1 e 0 1 (3)
x 1
x
0 e x 0 0 e e
Από το ερώτημα (γ) έχουμε
1 ln e x 1 1 ` 1 1 dx 1 ln e x 1 dx 1 1 dx
e x 1 e x e x 0 e x 1 0 e x 0 e x
1,2,3 2e e-1
` ln < E<
e+1 e
Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017