Page 255 - olokliroma
P. 255

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός                                 255



                   ξ  (1, u)~1<ξ<u
                                 1    1
                                  ~  <    1
                                 u
                                 1    lnu
                                  ~  <     < 1
                                 u    u-1

                   δ )
                   Λόγω συμμετρίας, το εμβαδόν Ε που περικλείεται από τη  C f - 1,
                   την ασύμπτωτη y=x και τις ευθείες y=0, y=1 είναι ίσο με το
                   εμβαδόν που περικλείεται από τη  C f, την ασύμπτωτη y=x και
                   τις ευθείες χ=0, χ=1.
                   Έτσι
                                  1+e  x                   1+e  x
                   f(x)= x+ln             `   f(x)-x= ln            0
                                   e x                      e x

                   και

                           1                  1   1+e  x
                   ●  Ε     | f(x)  x|  dχ     ln         dχ   (1)
                           0                  0     e x
                                         1
                                                                            x
                       1   1         1  e x         1  e  x          1 (1+e )'
                   ●          dχ             dχ             dχ                 dχ   -[ln(1+e )]
                                                                                                    1
                                                                                                x
                                        x
                          x
                       0 e +1        0 e +1         0 1+e  x        0 1+e    x                      0
                                        e x
                                                                   e+1              2e
                                        =-ln(1+e )+ln(1+e )=-  ln        +ln2=ln            (2)
                                                          0
                                             -1
                                                                     e              e+1
                       1  1       1                                     1   e 1
                   ●       dχ      e dχ     -[e ]      -e   1  e 0  1               (3)
                                                 x  1
                                      x
                       0 e x      0                 0                   e     e
                   Από το ερώτημα (γ) έχουμε
                      1     ln  e x  1    1    `    1  1   dx  1 ln  e x  1  dx  1  1   dx
                    e x  1       e x     e x    0 e x  1       0     e x         0 e x
                                            1,2,3  2e         e-1
                                                       ` ln  < E<
                                                  e+1           e
















                                                                  Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα   2017
   250   251   252   253   254   255   256   257   258   259   260