Page 256 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 256

13. ΕΠΙΛΟΓΗ
Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=χ -α χ 3 +βχ -γχ
2
4
α) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς α, β και γ αν
● f(0)=f(4)

● Η C f διέρχεται από το σημείο Α(1, -27)
● Η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α είναι παράλ-
ληλη στον άξονα χ'χ
Για τις τιμές των α,β,γ που βρήκατε
β ) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα α -
κρότατα.
γ ) να μελετήσετε την f ως προς τη καμπυλότητα και να
αποδείξετε ότι οι C f , C f ' , C f '' συντρέχουν σε ένα σημείο

καμπής.
δ) να αποδείξετε ότι
1 f(x) dx 10 3 f(x) dx
0 2

α )
Από τα δοσμένα έχουμε

● f(0)=f(4)`
0= 256-64α+16β-4γ`
6 4 α -16β+4γ=256`
16α-4β+γ=64 (1)

● Α C f , άρα
-27=1-α+β-γ `
α-β+γ=28 (2)

3
● f'(x)=4χ -3α χ 2 +2βχ-γ
Η εφαπτομένη της C f
στο σημείο Α είναι πα-
ράλληλη στον άξονα χ'χ, επομένως
f'(1)=0`4-3α + 2β-γ=0`3α-2β+γ=4 (3)
... Λύνουμε το σύστημα των (1), (2) και (3)
● (1)-(2): 15α-3β =36`5α-β =12 (4)
● (3)-(2): 2 α -β=-24 (5)
● (4)-(5): 3α=36`α=12

● (4): 60-β =12`β=48
● (2): 12-48+γ=28`γ=64

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017