Page 78 - olokliroma

78
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

3. ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Η μέθοδος βασίζεται στην

● έννοια του διαφορικού
Για μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο Δ με παράγωγο f’ ( x),

oνομάζουμε δ ι α φ ο ρ ι κ ό της f (συμβολίζεται df ή df(x))
το γινόμενο f’ ( x)dx
Δηλαδή df = df(x) = f’ ( x)dx.

● ιδιότητα του ορισμένου ολοκληρώματος:
β u 2
f(g(x)) g'(x) dx= f(u) du=F(g(β))-F(g(α)) ,
α u 1
όπου u = g(x), u 1 = g(α), u 2 = g(β) και du = g’ ( x)dx
με f, g’ συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β] και F παράγουσα
της f.

Στη προκειμένη περίπτωση μας εξυπηρετεί να αντικαταστή-
σουμε την συνάρτηση προς ολοκλήρωση με απλούστερη, με
την διαφορά όμως ότι πρέπει να μετασχηματίσουμε το διαφο-

ρικό.
Δηλαδή μπροστά απ’το dx προσπαθούμε να εμφανίσουμε την
f’ ( x), ώστε να δημιουργήσουμε το f’ ( x)dx.
Mερικά παραδείγματα διαφορικού είναι:

● d(x ) = vx v - 1 dx
v
1
● d( χ) = dx
2 x

1
● d(lnx) = dx
x

● d(e ) = e dx
x
x
● d(a - x ) = a - x lna dx

● d(η μ x) = συνx dx

● d(συνx) = - η μ x dx

1
● d(ε φ x) = dx
συν x
2
1
● d(σ φ x) = - dx
ημ x
2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017