Page 90 - olokliroma

90
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

12. ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ)
Δίνεται η συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη και " 1-1" στο
διάστημα [α, β].
f(β)
1
● Να αποδείξετε ότι: f(α) f (x) dx α χ f'(x) dx
1
1
3
● Αν f(x)=x , να υπολογίσετε το Ι= f (x) dx
0

● Θέτουμε
● x=f(u)
συνεπώς
● dx= f'(u)du
● για χ=f(α) τότε

f : 1 -1
f(u 1)=f(α) ` u 1 = α
● για χ=f(β) τότε
f : 1 -1
f(u 2)=f(β) ` u 2 = β
Έτσι

f(β)
-1
f (x) dx=
f(α)
β
f (f(u)) f'(u)du
1
α

u f'(u) du
α
β
= x× f'(x) dx
α

● Είναι
● f(0)=0
● f(1)=1
Σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα

f(1) 1 1 1
-1
f (x) dx= x× f'(x) dx ` f (x) dx= x× f'(x) dx
-1
f(0) 0 0 0
Έτσι
1 1
3
Ι= f (x) dx = x×(x )' dx
-1
0 0
= 1 3x dx
3
0
3x 4 1 3 3
= 0
4 0 4 4

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017