Page 148 - Buku Aljabar Linear & Matriks

❖ Ruang vektor nol didefinisikan sebagai ruang vektor berdimensi

berhingga walaupun ruang vektor nol tidak mempunyai himpunan

bebas linear, sehingga basisnya tidak ada.

Teorema 5.9

Jika S = v1, v2, …, vnadalah basis untuk ruang vektor V, maka setiap

himpunan dengan lebih dari n vektor adalah takbebas linear.

Bukti:

Misalkan himpunan vektor S’ = w1, w2, …, wm di mana m >n

’
Dibuktikan: S tak bebas linear … ?
S = v1, v2, …, vn  adalah basis V  setiap wi sebagai kombinasi linear dari

vektor-vektor S, sehingga:

w1 = a11 v1 + a21 v2 + … + an1vn

w2 = a21 v1 + a22 v2 + … + an2 vn

   

wm = a1m v1 + a2m v2 + … + anm vn ……….. (a)

untuk membuktikan S tak bebas linear maka k1, k2, … , km tidak semuanya
’
nol, sehingga:

k1 w1 + k2 w2 + … + km wm = 0 ……….. (b)

Persamaan (a) dan (b) menjadi:

( k1 a11 + k2 a12 + … + km a2m ) v1

+ ( k1 a21 + k2 a22 + … + km a2m ) v2



+ ( k1 an1 + k2 an2 + … + km anm ) vn = 0

139 | R u a n g - r u a n g V e k t o r