Page 156 - Buku Aljabar Linear & Matriks

Contoh 5.16

Misalkan v = (v1, v2) dan u = (u1, u2) di ruang vektor V.

Apakah u, v = 3 u1 v1 + 2 u2 v2 mendefinisikan suatu perkalian dalam?

Solusi:

1. u, v = 3 u1 v1 + 2 u2 v2 = 3 v1 u1 + 2 v2 u2 = v, u

2. u + v, w = 3 (u1+ v1) w1 + 2 (u2 + v2) w2

= 3 u1 w1 + 2 u2 w2 + 3 v1 w1 + 2 v2 w2

= u, w + v, w

3. k u, v = 3 (k u1 v1) + 2 (k u2 v2)

= k (3 u1 v1) + k (2 u2 v2)

= k (3 u1 v1 + 2 u2 v2)

= k u, v

4. v, v = 3 v1 v1 + 2 v2 v2

2
2
= 3 (v1) + 2 (v2)  0
2
= 3 (v1) + 2 (v2) = 0  v1 = v2 = 0
2
= 3v 1 2 + 2v 2 2 = 0  v 1 = v 2 = 0 / = vv 1 ,v 2  = 0

 Keempat aksioma di atas terpenuhi  Ruang hasil kali dalam

Contoh 5.17

u u  v v 
Jika: =u  1 2  dan v =  1 2  sebarang matrik berukuran 2  2 .
u
v
 3 u 4   3 v 4 
Buktikan bahwa rumus berikut mendefinisikan sebuah perkalian dalam

pada M22!

u, v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 + u4 v4

147 | R u a n g - r u a n g V e k t o r