Page 158 - Buku Aljabar Linear & Matriks

5.10 PANJANG, JARAK, DAN SUDUT DALAM RUANG
PERKALIAN DALAM

Misalkan u dan v vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam
maka panjang (norma) dari vektor u didefinisikan: || u || = < u, u >
1/ 2

dan jarak vektor u dan v didefinisikan: d (u, v) = || u – v ||

Jadi, jika u = (u1, u2 ,  , un) dan v = (v1, v2 ,  , vn) adalah vektor di R maka:
n

2
u = u ,u 2 / 1 = u + u 2 2 + + u n 2
1

2
2
2
( d u ,v ) = u − v = u − , − vu v / 1 2 = (u − v 1 ) + (u − v 2 ) + + (u − v n )
1
2
n

Contoh 5.19

Misal u = (1, 0), v = (0, 1) dengan perkalian dalam:  u, v  = 3 u1 v1 + 2 u2 v2

maka:

u = u ,u 2 / 1 = 1 ( 3 )( ) 1 + 0 ( 2 )( ) 0 = 3

d (u ,v ) = − vu = 1 ( 3 − ) 0 2 + 0 ( 2 − ) 1 2 = 3+ 2 = 5

2
Misalkan jika R tak mempunyai perkalian dalam maka:
|| u || = 1 dan d (u,v) = 2

Teorema 5.20

Dari ketaksamaan CHAUCHY- SCHWARZ. Jika u dan v vektor-vektor

pada dalam ruang hasil kali dalam, maka:

2
 u, v    u, u   v, v 

149 | R u a n g - r u a n g V e k t o r