Page 163 - Buku Aljabar Linear & Matriks

Contoh 5.23

Misal: v1 = (0, 1, 0) v2 = (-4/5 , 0, 3/5) v3 = (3/5 , 0, 4/5)

3
a) Apakah S = { v1, v2, v3 } basis orthonormal untuk R dengan hasil kali
dalam Euclidis?

b) Nyatakan u = (1, 1, 1) sebagai kombinasi linear vektor-vektor S.

Solusi:

a)  v1, v2  =  v2, v3  =  v1, v3  = 0

|| v1 || = || v2 || = || v3 || = 1

1 7
b) k1 u, v1  = 1 , k2  u, v2  = − , k3  u, v3  =
5 5
1 7
u = v1 − v2 + v3
5 5
1 4 3 7 3 4
(1, 1, 1) = (0, 1, 0) − (− , 0, ) + ( , 0, )
5 5 5 5 5 5

Teorema 5. 24

Jika S = {v1, v2,  , v3} adalah himpunan orthogonal vektor taknol di ruang

hasil kali dalam, maka S bebas linear.

Bukti:

S bebas linear  k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 +  + kn vn = 0

Harus dibuktikan: k1 = k2 =  = kn = 0

 k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 +  + kn vn , vi  =  0, vi 

k1  v1, vi  + k2  v2, vi  + k3  v3, vi  +  + kn  vn, vi  = 0

karena: i  j   vi, vj  = 0

i = j   vi, vj   0

154 | R u a n g - r u a n g V e k t o r