Page 165 - Buku Aljabar Linear & Matriks

Bukti:

Gambar 4.3 Proyeksi Orthogonal u pada W dan

Komponen u Orthogonal terhadap W.

Perhatikan gambar 4.3.

w1 = proyeksi orthogonal u pada W (proyw u)

w2 = komponen u yg orthogonal terhadap W (u – proyw u)

Jadi (*) dan (**) menjadi

proyw u =  u, v1  v1 +  u, v2  v2 +  +  u, vr  vr

u – proyw u = u −  u, v1  v1 +  u, v2  v2 +  +  u, vr  vr

Contoh 5.25

3
Misalkan R mempunyai ruang hasil kali dalam Euclidis dan W adalah
subruang yang direntang oleh vektor-vektor orthonormal: v1 = (0, 1, 0), v2 =

4 3
(− , 0, ). Tentukan proyeksi orthogonal u pada W dan komponen u yang
5 5
orthogonal terhadap W.

Solusi:

Proyeksi orthogonal u = (1, 1, 1) pada W adalah:

156 | R u a n g - r u a n g V e k t o r