Page 162 - Buku Aljabar Linear & Matriks

Contoh 5.22

Himpunan vektor S = { u1, u2, u3 } di mana: u1 = (0, 1, 0); u2 = (1, 0, 1); u3

= (1, 0, -1). Cek, apakah S merupakan himpunan vektor orthonormal?

Solusi:

✓ Cek orthogonalitas masing-masing vektor

 u1, u2  =  u2, u3  =  u1, u3  = 0
S = { u1, u2, u3 }
→

✓ Cek jarak: || u1 || = || u2 || = || u3 || = 1 Orthonormal

Lakukan normalisasi vektor jika jarak  1

Teorema 5.23

Jika S = {v1, v2,  , v3 }adalah baris orthonormal untuk ruang hasil kali dalam

V dan u adalah sebarang vektor dalam V maka:

u =  u, v1  v1 +  u, v2  v2 +  +  u, vn  vn

atau u sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di dalam S.

Bukti:

S = { v1, v2, v3 } : basis  u = k1 v1 + k2 v2 +  + kn vn

Harus dibuktikan: ki =  u, vi  , i = 1,2,  , n

 u, vi  =  k1 v1 + k2 v2 +  + kn vn , vi 

= k1  v1, vi  + k2  v2, vi  +  + kn  vn, vi  ...... (*)

2
karena S : orthonormal   vi, vi  = || vi || = 1
 vi, vj  = 0 jika j  1

Sehingga persamaan (*) dapat disederhanakan menjadi:  u, vi  = ki

(terbukti)

153 | R u a n g - r u a n g V e k t o r