Page 166 - Buku Aljabar Linear & Matriks

proyw u =  u, v1  v1 +  u, v2  v2
1 4 3
= (1) (0, 1, 0) + (− ) (− , 0, )
5 5 5
4 3
= ( , 1, − )
25 25

Komponen u yang orthogonal terhadap W adalah:

4 3
u – proyw u = (1, 1, 1) – ( , 1, − )
25 25
21 28
= ( , 0, )
25 25

Cek, apakah (u – proyw u) orthogonal terhadap v1, v2 ?

 u – proyw u , v1  =  u – proyw u , v2  = 0

Teorema 5.26

Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol mempunyai

satu basis orthonormal.

Bukti:

Misalkan S = {u1, u2, u3,  , un} adalah sebarang basis untuk V yang

merupakan sebarang ruang hasil kali dalam berdimensi n taknol, akan

dibangun basis orthonormal { v1, v2, v3,  , vn } untuk V dengan langkah-

langkah sebagai berikut:

u
Langkah 1: Andaikan v 1 = 1  v = 1
u 1

Langkah 2: Misalkan w1 sub ruang yang direntang untuk v1

157 | R u a n g - r u a n g V e k t o r