Page 133 - основы милогии 1999

Можно предположить, что среди бесконечного множества одномерных прое i ранеi и
R, всегда найдутся такие, которые будут инвариантны относительно преобразования у Лх. г
е. для любого хЕ R1 имеет место у=АхЕ Rr

6.5.2. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦ
Обозначим через X отношение у к х, которое при этом будет просто вещественным числом, т.
е. можем записать у==А,х. Тогда, если R1 - инвариантное подпространство, то для х£ R, имеет
место равенство

Ах-Л X (6.5.2-1)
Вектор х^О, удовлетворяющий соотношениям (6.5.2-1), называется собственным вектором
матрицы А, а число А, - собственным значением (характеристическим числом) матрицы А.
Это число А. является важнейшей характеристикой инвариантного подпространства R,.
Для определения характеристических чисел матрицы перепишем соотношение (6.5.2-1) в
ином виде, введя тождественное преобразование х=1х. При этом получаем:

(6.5.2.2)
Соотношение (6.5.2-2)представляет собой систему линейных однородных уравнений,
которая может быть записана в явном лиде как- _
(аи - Л )Х1 + О|2Х2 + ... + O]„Xn = О
a21xi + (О22 - Л )Х2 +... + аппхп = О
>
(6.5.2-3)
anlxi + ап2Х2 +... + (я„„ - Л )х„ = О

Эта система имеет не тривиальное решение только в том случае, если выполняется условие
det(y4-Z/) = 0
’ (6.5.2-4)
Соотношение (6.5.2-4) называется характеристическим уравнением матрицы А и
представляет собой алгебраическое уравнение n-й степени относительно А.. Действительно,
раскрывая определитель и группируя члены с одинаковыми степенями К, левую часть
уравнения (6.5.2-4) можно представить в виде многочлена по степеням:
detfA-Л Г) = q0 +...+qnAn

Легко заметить, что здесь qo=det A, qn=(-l)n. Таким образом, для нахождения собственных
значении матрицы А получаем уравнение п-й степени относительно л:
” =0
Это уравнение имеет п корней, среди которых могут быть и одинаковые, являющиеся
собственными значениями матрицы А. Конечно, не все собственные значения обязательно будут
действительными, но так как А- действительная матрица, то комплексные корни будут
встречаться сопряженными парами.
Возьмем любое собственное значение А.,, и подставим его в исходную систему уравнений
(6.5.2-2) Получим уравнения

(Л-Д7)х = 0