Page 137 - основы милогии 1999

I
С учетом этих преобразований можно считать, что экспоненциальные функции ииди
е'Ьх , определенные на пространстве 9ft, в котором определены операторы дифференцирования
и интегрирования, являются линейными. Из математики известно, что множество всех
линейных функций, заданных в пространстве 9ft над полем к, образует линейное пространство
той же размерности, при этом линейное пространство состоящее из всех линейных функций,
определенных на пространстве 9ft, называется сопряженным пространству 9ft .
Поскольку пространства 9^ и 9ft являются частными случаями соответствующих
иерархических пространств , то эти пространства также будут сопряженными относительно
друг друга, а их базисные матрицы будут транспонированными.
Здесь речь идет пока только о симметрии этих базисных матриц, а не о соответствии
численных коэффициентов. Подобный дуализм пространств 9ft и 3* можно
интерпретировать следующим образом. Если пространство 9ft связать, например, со
структурными свойствами элементов (корпускулярными в случае атомов), то пространство
будет характеризовать их функциональные свойства (волновые в случае атомов).

6.7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ПРОСТЫМ СПЕКТРОМ
Пусть .<3. U —>V - отображение линейного пространства U в линейное пространство V,
ставящее в соответствие каждому вектору и пространства U вектор v = . cXi пространства V.
Отображение будет линейным, если оно удовлетворяет следующим двум условиям
(условиям линейности):
-для любых двух векторов и, и и2
+ и2) = 1яй11 + «л&2
-для любого вектора и и любого числа X имеем
.wfXu) = X(.sA)
Из этих условий сразу следует, что при линейном отображении всякая линейная комбинация
X,u15 ...,Xmum каких-либо векторов up U переходит в линейную комбинацию

векторов
V, е ..., v Е .гЛ
1 1’ ’ m m
с теми же коэффициентами А,,, •••Дт.
Линейные отображения линейного пространства в себя называют линейными
операторами. Пусть х есть собственный вектор оператора цай V —->V и 99 -пространство
действительных функций, определенных на V и непрерывно дифференцируемых (99 -есть
пространство над полем действительных чисел 31). Обозначим через d/dx оператор
дифференцирования, ставящий в соответствие каждому элементу f G V его производную.
Легко видеть, что оператор дифференцирования есть линейный оператор пространства
.2?. Если Хе Й?, то функция еХх есть собственный вектор оператора дифференцирования,
т.к. de _
dx

Таким образом, любое действительное число является собственным значением
оператора дифференцирования. В более общем случае
*2 = Йе-
ах