Page 136 - основы милогии 1999

Ьелис» М.И. "Основыми.'югии". 1999 ц>л.
•атного опера гора -интегрирования мы будем иметь обратную матрицу ib’1
1 качестве базисных единичных функций можно выбрать только следующие

(алее, инвариантность операторов дифференцирования и интегрирования проявляется
по эти операторы изменяют только “вес” и “ориентацию” функции в комплексной
ти. Например,
(6.6-6)

ого, экспоненциальные функции имеют естественный механизм для “перенормировки”
чсских экспоненциальных пространств любого уровня иерархии.
ibx -ibx .
е °е =1
ого, экспоненциальные функции обладают также свойством “дискретности”, т.е. могут
1ляться”. Например,
ibx ЦЬ1+Ь2+...+Ь„)х
- е

матрицы размерности г
'еперь вопрос о том, можно ли используя подобные базисные функции, получить
ческое пространство.
(ля ответа на этот вопрос рассмотрим взаимосвязь между иерархическим линейным
нством и функциональным пространством ,У<тп> .
1з математики известно, что задать числовую функцию f на n-мерном линейном
нстве Si над полем коэффициентом к -значит дать правило, позволяющее поставить
тствие каждому вектору х 6 Si некоторое число из поля к (значение функции (для
ктора х). Если в пространстве задан некоторый базис ер е2 е3
ющий каждый вектор х G Si записать в виде
х = х,е, +х1е2++х3е3++х4е4++ ... хпеп = <Х|,х2,х3,х4,..., Хл>
за заключается в том, чтобы для каждого вектора х выразить значения f(x) через
[аты хр х2, х3, х4,..., хп (посредством некоторой формулы).
•кспоненциальная функция вида е‘Ьх, определенная на пространстве Si , будет
>й, если она удовлетворяет условию линейности.
\Х1++^ЭХЭ*+^4Х4* + —\Х. )=\f(Xl) +X2f(x2)+X3f(x3)++X4f(X4)++...\f(x. ) (6.6-8)
ых векторов ХрХ2,х3,х4,..., хл и любых чисел А,,,...,^
•кспоненциальная функция будет удовлетворять свойствам линейности только в том
:сли на левую часть уравнения (6.6-8) воздействовать оператором дифференцирования,
й осуществляет операцию преобразования функции в линейную, т.е. является
зром “развертки” экспоненциальной функции, и само условие линейности
-щиальной функции приобретает вид
+А,2х2++А3х3++А4х4++ ...Ах1] )/дх=
:,)) +aF(X2f(x2))/ax+dF(X3f(x3))/3x++3F(X4f(x4))/9x++ ...8f(X f(x„ ))/Эх= (6.7-9)
X,f(x,) +X2f(x2)+X3f(x3)++X4f(x4\+ ...X„f(xn
>e преобразование (свертка) осуществляется с помощью оператора интегрирования
JaF(X,x, +Х2х2++Х3х3++Х4х4++ ...Хпхп )/Зх= (6.6-ю)
X,f(x,)+Xif(x2)+X3f(x3)++X4f(x4)++ ...X,f(xn) +с
[ругими словами, оператор дифференцирования осуществляет преобразование
анального пространства в линейное пространство Si, а оператор интегрирования,
т, осуществляет преобразование от линейного пространства к функциональному .