Page 68 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova


Если все значения непрерывной случайной величины X принадлежат отрезку  ba, ,
то ее математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам:
b b

2
M ( X )   xf ) x ( dx, D( X)  x 2 f ( x) dx  M ( X)
a a
Литература. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:
1999.
Глава 10, 11.

Лекция 21. Основные законы распределения непрерывных случайных
величин

Цель лекции. Изучить закон нормального распределения.
Основные вопросы.
1. Нормальное распределение
2. Свойства нормальной кривой
3. Правило «трех сигм»
4. Нормальное распределение – предельный случай биномиального
распределения
5. Равномерное распределение

Определение. Непрерывная случайная величина X называется распределенной по
нормальному законус параметрами a и   0 , если ее плотность вероятности равна
(x ) a 2
1

2
f (x )  e 2 ,
 2
где a − математическое ожидание,  − среднее квадратическое отклонение.
Коротко это можно записать так: Х=N(a; ).
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой.
Нормальное распределение с параметрами a  0 и   1 называется
стандартным нормальным распределением, или Z-распределением, т.е. Z =N(0; 1).
Функция плотности стандартного нормального распределения имеет вид
1 2
 (x )  e  х 2 / .
2
Свойства стандартной нормальной кривой.
0
1 . Областью определения функции (x ) является вся числовая ось.
0
2 . Функция (x ) принимает только положительные значения, т.е. (x )  0.
0
3 . Кривая симметрична относительно оси Oy .
0
4 . Ось Ox является горизонтальной асимптотой графика функции (x ) .
0
5 . Функция (x ) имеет в точке х 0 максимум, равный 1 2  .
Функция распределения стандартного нормального распределения
1 x 2
Ф 0   х  e  t 2 dt .
2  
1 x 2
Функция Лапласа   хФ  e t 2 dt
2 0

Таблицафункции Ф (х ) для х 0приведена в приложении. Если х<0, томожно
воспользоваться формулой ( хФ  )   Ф (х ). Для значений х 4полагают (хФ ) =0,5.

Если Х=N(a; ), то ее функцию распределения можно записать так:

66